Písemky třídy V+VI z geometrie

Zadání písemek pro třídu V + VI z geometrie. Tématy byly osová a středová souměrnost, rýsování základních dvojrozměrných a třírozměrných geometrických útvarů.

Písemka 1 (Cvičná): PDF zadání | PDF řešení 1 | PDF řešení 2
Pro úspěšné splnění bylo zapotřebí splnit aspoň z 50% minimálně 4 úlohy z 6 (úlohy 3a, 3b, 4a, 4b se počítaly zvlášť).

Písemka 2: PDF zadání | PDF řešení 1 | PDF řešení 2
Pro úspěšné splnění bylo zapotřebí splnit aspoň z 50% minimálně 4 úlohy z 5.

Náznaky řešení + příkladů v Písemce 2:

1. Protože technika není často nic jiného než okoukané nápady z přírody, věnujme se na okamžik účelu osové souměrnosti v přírodě. Osobně bych řekl, že účely jsou zhruba dvojího druhu - estetické a praktické. Samozřejmě například křídla některých motýlů slouží účelům oběma, a to dokonce vícero způsoby: tvar křídel (všeho co létá) je symetrický, aby tvor dokázal létat vpřed (asymetrie křídel by ho přinejmenším pořád nutila letět nakřivo). Vzor na křídlech je symetrický z estetického důvodu (aby partner/ka měl/a podle čeho vybírat), ale právě u některých motýlů vzor tvoří například dojem očí, což může odehnat predátory.

2. Našli jsme mnoho útvarů s jedním středem souměrnosti (kruh, čtverec, atd) a jeden s nekonečně mnoha středy souměrnosti (přímka, ale šla by i rovina, prostor...) Teď - existuje nějaký útvar, který má právě dva, tři, atd. středy souměrnosti? Pokoušel jsem se takový najít a následně i vymyslet, ale marně. Věc se má tak, že středová souměrnost je vlastně otočení o rovný úhel (180°) kolem určitého středu. Náš problém se tedy stává otázkou, jestli existuje útvar, který lze otočit kolem právě dvou (tří, atd) různých středů tak, aby se nezměnil? Budu rád když někdo protipříkladem dokáže, že se mýlím, ale osobně myslím, že je to nemožné.

3. Osy souměrnosti krychle procházejí jejím geometrickým středem a, pokud správně počítám, je jich 7. Mezi první druh patří například e, která spojuje protilehlé vrcholy (v našem případě AG, BH, CE, DF), druhá sada obsahuje třeba o, která spojuje středy protilehlých stěn (na klasické hrací kostce třeba středy stěn obsahujících čísla 1, 6).

4. Tady se musím omluvit, nějak trpím přesvědčením, že se znalostí vzorce pro obvod kruhu se nastupuje do první třídy. Jde vlastně o definici radiánu: úhel AVB má velikost jeden radián právě tehdy, když je délka oblouku mezi body A, B ležícími na kružnici se středem V rovna poloměru této kružnice. Tedy má-li naše kružnice poloměr 1, pokud náš "úhel" správně umístíme, vytne na ní oblouk o délce 1.

5. Správná odpověď je "ne," přinejmenším použijeme-li klasické starořecké pravítko bez stupnice (které se v matematice klasicky myslí slovem "pravítko," zvykejte si). Jedná se o jeden ze slavných tří problémů starořecké geometrie a říká se mu "trisekce úhlu." Něco málo (ne však příliš srozumitelných) informací můžete najít třeba na Wiki, o trisekci úhlu pomocí pravítka se stupnicí si přečtete například v knížce Františka Kuřiny "Matematika a řešení úloh."