Tak máme poslední cvičení z matiky ve školním roce. Tady je závěrečný úkol:
1) Jděte na stránku http://www.naberanku.cz/vyuka/matematika/zaci/mat01.htm. Vyzkoušejte si různé matematické hry. Jakmile vás nějaká zaujme, běžte jí nahlásit panu učiteli, než si jí zabere někdo jiný!
2) Přes víkend napište o hře krátký článek. Ten by měl obsahovat název hry, krátký popis o co tam vlastně jde, důvod proč se vám líbila nebo nelíbila a třeba ještě nějakou zajímavost.
3) Články pošlete panu učiteli na školní mail matej.bina(at)skolamanesova.cz. Kdo to stihne do konce víkendu, má velké plus.
čtvrtek 6. června 2013
čtvrtek 30. května 2013
Dělitelnost v Excelu
Pracovní list ZDE.
První list, Matice10, zobrazuje zbytky po dělení čísel 1 až 100 číslem ve světle modrém rámečku (O1).
Druhý list, MaticeX, zobrazuje zbytky po dělení čísel vzniklých vzájemným násobením čísel v řádcích a sloupcích číslem v levém horním rohu tabulky (A1).
Další dva listy obsahují zdrojové tabulky.
Obarvením nulových zbytků (na jejichž pozicích se nacházejí čísla dělitelná zvoleným číslem) vznikají na různých podkladech různé zajímavé obrazce.
První list, Matice10, zobrazuje zbytky po dělení čísel 1 až 100 číslem ve světle modrém rámečku (O1).
Druhý list, MaticeX, zobrazuje zbytky po dělení čísel vzniklých vzájemným násobením čísel v řádcích a sloupcích číslem v levém horním rohu tabulky (A1).
Další dva listy obsahují zdrojové tabulky.
Obarvením nulových zbytků (na jejichž pozicích se nacházejí čísla dělitelná zvoleným číslem) vznikají na různých podkladech různé zajímavé obrazce.
neděle 19. května 2013
Cvičení VIII: Vzdálenosti
Navštiv odkaz http://www.geogebratube.org/material/show/id/38506. Vypracuj následující úkoly na papír, případně přímo do .ggb souboru, který si stáhneš.
1) Kružnice k má střed S a poloměr 3 cm. Sestroj přímky p, q tak, aby přímka p neměla s kružnicí žádný společný bod a přímka q procházela jejím středem. Najdi všechna možná umístění bodu A tak, aby náležel přímce p nebo q a jeho vzdálenost od kružnice byla 1 cm.
2) Sestroj množinu bodů, které mají vzdálenost 1 cm od úsečky AB.
3) Sestroj množinu bodů, které mají vzdálenost 1 cm od trojúhelníka ABC.
Výsledky cvičení 2 a 3 si můžeš ověřit online v appletu http://www.geogebratube.org/student/m38574.
4) Porozhlédni se po dalších appletech na www.geogebratube.org. Pokud se cítíš na opravdovou výzvu, zkus www.cut-the-knot.org.
1) Kružnice k má střed S a poloměr 3 cm. Sestroj přímky p, q tak, aby přímka p neměla s kružnicí žádný společný bod a přímka q procházela jejím středem. Najdi všechna možná umístění bodu A tak, aby náležel přímce p nebo q a jeho vzdálenost od kružnice byla 1 cm.
2) Sestroj množinu bodů, které mají vzdálenost 1 cm od úsečky AB.
3) Sestroj množinu bodů, které mají vzdálenost 1 cm od trojúhelníka ABC.
Výsledky cvičení 2 a 3 si můžeš ověřit online v appletu http://www.geogebratube.org/student/m38574.
4) Porozhlédni se po dalších appletech na www.geogebratube.org. Pokud se cítíš na opravdovou výzvu, zkus www.cut-the-knot.org.
středa 10. dubna 2013
pátek 8. března 2013
Písemky třídy V+VI z geometrie
Zadání písemek pro třídu V + VI z geometrie. Tématy byly osová a středová souměrnost, rýsování základních dvojrozměrných a třírozměrných geometrických útvarů.
Písemka 1 (Cvičná): PDF zadání | PDF řešení 1 | PDF řešení 2
Pro úspěšné splnění bylo zapotřebí splnit aspoň z 50% minimálně 4 úlohy z 6 (úlohy 3a, 3b, 4a, 4b se počítaly zvlášť).
Písemka 2: PDF zadání | PDF řešení 1 | PDF řešení 2
Pro úspěšné splnění bylo zapotřebí splnit aspoň z 50% minimálně 4 úlohy z 5.
Náznaky řešení + příkladů v Písemce 2:
1. Protože technika není často nic jiného než okoukané nápady z přírody, věnujme se na okamžik účelu osové souměrnosti v přírodě. Osobně bych řekl, že účely jsou zhruba dvojího druhu - estetické a praktické. Samozřejmě například křídla některých motýlů slouží účelům oběma, a to dokonce vícero způsoby: tvar křídel (všeho co létá) je symetrický, aby tvor dokázal létat vpřed (asymetrie křídel by ho přinejmenším pořád nutila letět nakřivo). Vzor na křídlech je symetrický z estetického důvodu (aby partner/ka měl/a podle čeho vybírat), ale právě u některých motýlů vzor tvoří například dojem očí, což může odehnat predátory.
2. Našli jsme mnoho útvarů s jedním středem souměrnosti (kruh, čtverec, atd) a jeden s nekonečně mnoha středy souměrnosti (přímka, ale šla by i rovina, prostor...) Teď - existuje nějaký útvar, který má právě dva, tři, atd. středy souměrnosti? Pokoušel jsem se takový najít a následně i vymyslet, ale marně. Věc se má tak, že středová souměrnost je vlastně otočení o rovný úhel (180°) kolem určitého středu. Náš problém se tedy stává otázkou, jestli existuje útvar, který lze otočit kolem právě dvou (tří, atd) různých středů tak, aby se nezměnil? Budu rád když někdo protipříkladem dokáže, že se mýlím, ale osobně myslím, že je to nemožné.
3. Osy souměrnosti krychle procházejí jejím geometrickým středem a, pokud správně počítám, je jich 7. Mezi první druh patří například e, která spojuje protilehlé vrcholy (v našem případě AG, BH, CE, DF), druhá sada obsahuje třeba o, která spojuje středy protilehlých stěn (na klasické hrací kostce třeba středy stěn obsahujících čísla 1, 6).
4. Tady se musím omluvit, nějak trpím přesvědčením, že se znalostí vzorce pro obvod kruhu se nastupuje do první třídy. Jde vlastně o definici radiánu: úhel AVB má velikost jeden radián právě tehdy, když je délka oblouku mezi body A, B ležícími na kružnici se středem V rovna poloměru této kružnice. Tedy má-li naše kružnice poloměr 1, pokud náš "úhel" správně umístíme, vytne na ní oblouk o délce 1.
5. Správná odpověď je "ne," přinejmenším použijeme-li klasické starořecké pravítko bez stupnice (které se v matematice klasicky myslí slovem "pravítko," zvykejte si). Jedná se o jeden ze slavných tří problémů starořecké geometrie a říká se mu "trisekce úhlu." Něco málo (ne však příliš srozumitelných) informací můžete najít třeba na Wiki, o trisekci úhlu pomocí pravítka se stupnicí si přečtete například v knížce Františka Kuřiny "Matematika a řešení úloh."
Písemka 1 (Cvičná): PDF zadání | PDF řešení 1 | PDF řešení 2
Pro úspěšné splnění bylo zapotřebí splnit aspoň z 50% minimálně 4 úlohy z 6 (úlohy 3a, 3b, 4a, 4b se počítaly zvlášť).
Písemka 2: PDF zadání | PDF řešení 1 | PDF řešení 2
Pro úspěšné splnění bylo zapotřebí splnit aspoň z 50% minimálně 4 úlohy z 5.
Náznaky řešení + příkladů v Písemce 2:
1. Protože technika není často nic jiného než okoukané nápady z přírody, věnujme se na okamžik účelu osové souměrnosti v přírodě. Osobně bych řekl, že účely jsou zhruba dvojího druhu - estetické a praktické. Samozřejmě například křídla některých motýlů slouží účelům oběma, a to dokonce vícero způsoby: tvar křídel (všeho co létá) je symetrický, aby tvor dokázal létat vpřed (asymetrie křídel by ho přinejmenším pořád nutila letět nakřivo). Vzor na křídlech je symetrický z estetického důvodu (aby partner/ka měl/a podle čeho vybírat), ale právě u některých motýlů vzor tvoří například dojem očí, což může odehnat predátory.
2. Našli jsme mnoho útvarů s jedním středem souměrnosti (kruh, čtverec, atd) a jeden s nekonečně mnoha středy souměrnosti (přímka, ale šla by i rovina, prostor...) Teď - existuje nějaký útvar, který má právě dva, tři, atd. středy souměrnosti? Pokoušel jsem se takový najít a následně i vymyslet, ale marně. Věc se má tak, že středová souměrnost je vlastně otočení o rovný úhel (180°) kolem určitého středu. Náš problém se tedy stává otázkou, jestli existuje útvar, který lze otočit kolem právě dvou (tří, atd) různých středů tak, aby se nezměnil? Budu rád když někdo protipříkladem dokáže, že se mýlím, ale osobně myslím, že je to nemožné.
3. Osy souměrnosti krychle procházejí jejím geometrickým středem a, pokud správně počítám, je jich 7. Mezi první druh patří například e, která spojuje protilehlé vrcholy (v našem případě AG, BH, CE, DF), druhá sada obsahuje třeba o, která spojuje středy protilehlých stěn (na klasické hrací kostce třeba středy stěn obsahujících čísla 1, 6).
4. Tady se musím omluvit, nějak trpím přesvědčením, že se znalostí vzorce pro obvod kruhu se nastupuje do první třídy. Jde vlastně o definici radiánu: úhel AVB má velikost jeden radián právě tehdy, když je délka oblouku mezi body A, B ležícími na kružnici se středem V rovna poloměru této kružnice. Tedy má-li naše kružnice poloměr 1, pokud náš "úhel" správně umístíme, vytne na ní oblouk o délce 1.
5. Správná odpověď je "ne," přinejmenším použijeme-li klasické starořecké pravítko bez stupnice (které se v matematice klasicky myslí slovem "pravítko," zvykejte si). Jedná se o jeden ze slavných tří problémů starořecké geometrie a říká se mu "trisekce úhlu." Něco málo (ne však příliš srozumitelných) informací můžete najít třeba na Wiki, o trisekci úhlu pomocí pravítka se stupnicí si přečtete například v knížce Františka Kuřiny "Matematika a řešení úloh."
čtvrtek 22. dubna 2010
Jak na písemku z fyziky
Většina studentů přistupuje k písemným pracem z fyziky jako k hromadě příkladů, které musí nějak vypočítat a tím to hasne. Pokud umí, není to zas až takový problém. Hůř to ovšem dopadá, pokud neumí - ne dokonale. Pro ty je tu následujících pár tipů, jak nasbírat nějaké ty body navíc:
- Než začnete příklad počítat, udělejte si přehledný seznam známých a neznámých, které převeďte na základní jednotky (pokud se to hodí; např. máte-li rychlost v km/hod a čas v hod, je zbytečné obojí převádět na m/s a s).
Zrovna km/hod a m/s jsou oblíbeným materiálem pro převody. Většina studentů tuší, že se buď násobí nebo dělí číslem 3,6, ale zrovna třeba já si nepamatuju, kterou operaci provést. Jak na to? Inu, buď to poctivě odvodím tak, že si řeknu, že 1 km za 1 hod je 1000 m za 3600 sekund, což je (po vykrácení) totéž co 1/3,6 m/s, nebo si představím, že za hodinu určitě ujedu víc kilometrů než za sekundu metrů (představte si, že za hodinu ujdete kilometr šnečím tempem, zatímco metr za sekundu je svižná chůze), pročež když chci m/s budu dělit (dostanu menší číslo), zatímco když chci km/h, budu násobit.
- Je možné, že se v zadání vyskytne veličina, na níž řešení vůbec nezáleží, nebo dokonce číslo které se tváří důležitě, ale může souviset s něčím úplně jiným (třeba je to veličina, s níž je třeba výsledek srovnat). Na druhou stranu některé písemky předpokládají, že znáte konstanty nazpaměť. Čtěte zadání pozorně a než se pustíte do řešení, ujasněte si, co se po vás vlastně chce.
První typ příkladu, co mě k tomuhle napadá, je mechanické zachování energie. Spousta studentů si zoufá, že když řeší mgh = 1/2mv2, nemají zadanou hmotnost. Je to oblíbený učitelský chyták řešený vydělením obou stran rovnice hmotností m. Co se konstant týče, záleží opravdu na preferenci zadavatele písemky. Setkal jsem se s písemkami bez konstant, s konstantami uvedenými v záhlaví (pro využití ve všech případech), nebo přímo u jednotlivých příkladů. Dobrý pozorovatel, který má podezření, že v daném příkladě se vyskytuje konstanta neuvedená v zadání se může přihlásit a položit zcela relevantní otázku, na kolik desetinných míst má v tom a tom příkladě počítat konstantu. Bude-li zadavatel písemky zaskočen, pravděpodobně je konstanta zbytečná.
- Snad neexistuje fyzikální příklad, který by nebylo vhodné doplnit náčrtkem situace, kam vepíšete předem připravené známé a neznámé veličiny. Někdy je vhodný i graf závislostí (např. dráhy na čase). Pokud něco takového vypracujete, nejenže vzbudíte dojem člověka, který ví, o čem mluví, ale třeba se vám povede odvodit pozapomenutý vzorec.
Náčrtek, respektive graf, mi zachránil kůži při řešení zadaného úkolu, původem z matematické olympiády. Běžný výpočet nešel a nešel, ale sotva jsem si načrtnul graf a použil pár celkem vzato jednoduchých geometrických vychytávek, trvalo řešení kolem 5 minut. Ryze algebraický postup, který vyučující potom předvedl, zabral půl hodiny.
- Během výpočtu si hlídejte přehlednost zápisu. Jedna špatně odškrábnutá odmocnina, druhá mocnina zmutovaná v součinitel, nebo třeba g-čko tvářící se jako číslo 9 dokáží napáchat nepředstavitelnou paseku.
Na tohle pozor zejména v matematice u posloupností: a, g, q a 9 neskutečně rády mutují jedna v druhou.
- Máte-li pochyby, ověřujte jednotkami. Ty by měly být na obou stranách rovnice a v jednotlivých členech součtu/rozdílu stejné. Také by se u žádné jednotky neměla vyskytnout mocnina ve formě zlomku nebo něčeho horšího (takže kg2 je ok, kg-2 taky, ale kg1/2 ne).
Ověření jednotkami je jedna z věcí, na které se ve fyzice můžete spolehnout vždycky s výjimkou optiky, která je doménou spíš matematiky a tím pádem hýří bezrozměrnými veličinami. Další guláš umí napáchat konstanty. Kdo si pamatuje, že jednotkou gravitační konstanty je m3kg-1s-2? Já ne, zrovna jsem si to odvodil. Je velmi výhodné mít přehled o jednotlivých veličinách natolik, abyste je dokázali vystopovat až k těm daným SI: s jejich pomocí dokážete ověřit (nikoli však dokázat) platnost mnoha vzorců. Ale pozor! Pokud jsou ve vzorci ještě nějaká čísla, typu 1/2mv2, nesrovnalosti odhalí tak maximálně zdravý rozum.
- Goniometrické funkce zpracovávají úhly (ať už ve stupních či radiánech - hlavně si nezapomeňte správně přepnout kalkulačku) a nic jiného. Síla či rychlost uvedená v argumentu sinu spolehlivě vede k velmi špatným známkám.
Úhlová rychlost je samozřejmě něco úplně jiného.
A co to! Hle, rovnice postupné vlny: y = ym sin2π(t/T - x/λ)! Je tam vzdálenost! Je tam čas! Je tam dělení! ... Jenže časy se dělí navzájem, a stejně tak vzdálenosti. Ve výsledku sinujeme bezrozměrné číslo a dostáváme současnou výchylku vlny v čase t a místě x. Sponzorem rozměru této výchylky je laskavá ym.
- Je-li číslo v argumentu funkce, pozor na manipulaci s ním. Ze sin2a rozhodně nejde vytknout číslo 2, a pro pořádek ani ta a. Krácení sinx/n = six = 6 je oblíbený matfyzácký vtip. Neberte ho vážně.
Manipulace s funkcemi ale není hlavní náplní fyziky. Tato zvrácená zábava je doménou především matematikářů.
Toliko ode mne, budu rád za každý zajímavý nápad či připomínku. Fyzice zdar!
- Než začnete příklad počítat, udělejte si přehledný seznam známých a neznámých, které převeďte na základní jednotky (pokud se to hodí; např. máte-li rychlost v km/hod a čas v hod, je zbytečné obojí převádět na m/s a s).
Zrovna km/hod a m/s jsou oblíbeným materiálem pro převody. Většina studentů tuší, že se buď násobí nebo dělí číslem 3,6, ale zrovna třeba já si nepamatuju, kterou operaci provést. Jak na to? Inu, buď to poctivě odvodím tak, že si řeknu, že 1 km za 1 hod je 1000 m za 3600 sekund, což je (po vykrácení) totéž co 1/3,6 m/s, nebo si představím, že za hodinu určitě ujedu víc kilometrů než za sekundu metrů (představte si, že za hodinu ujdete kilometr šnečím tempem, zatímco metr za sekundu je svižná chůze), pročež když chci m/s budu dělit (dostanu menší číslo), zatímco když chci km/h, budu násobit.
- Je možné, že se v zadání vyskytne veličina, na níž řešení vůbec nezáleží, nebo dokonce číslo které se tváří důležitě, ale může souviset s něčím úplně jiným (třeba je to veličina, s níž je třeba výsledek srovnat). Na druhou stranu některé písemky předpokládají, že znáte konstanty nazpaměť. Čtěte zadání pozorně a než se pustíte do řešení, ujasněte si, co se po vás vlastně chce.
První typ příkladu, co mě k tomuhle napadá, je mechanické zachování energie. Spousta studentů si zoufá, že když řeší mgh = 1/2mv2, nemají zadanou hmotnost. Je to oblíbený učitelský chyták řešený vydělením obou stran rovnice hmotností m. Co se konstant týče, záleží opravdu na preferenci zadavatele písemky. Setkal jsem se s písemkami bez konstant, s konstantami uvedenými v záhlaví (pro využití ve všech případech), nebo přímo u jednotlivých příkladů. Dobrý pozorovatel, který má podezření, že v daném příkladě se vyskytuje konstanta neuvedená v zadání se může přihlásit a položit zcela relevantní otázku, na kolik desetinných míst má v tom a tom příkladě počítat konstantu. Bude-li zadavatel písemky zaskočen, pravděpodobně je konstanta zbytečná.
- Snad neexistuje fyzikální příklad, který by nebylo vhodné doplnit náčrtkem situace, kam vepíšete předem připravené známé a neznámé veličiny. Někdy je vhodný i graf závislostí (např. dráhy na čase). Pokud něco takového vypracujete, nejenže vzbudíte dojem člověka, který ví, o čem mluví, ale třeba se vám povede odvodit pozapomenutý vzorec.
Náčrtek, respektive graf, mi zachránil kůži při řešení zadaného úkolu, původem z matematické olympiády. Běžný výpočet nešel a nešel, ale sotva jsem si načrtnul graf a použil pár celkem vzato jednoduchých geometrických vychytávek, trvalo řešení kolem 5 minut. Ryze algebraický postup, který vyučující potom předvedl, zabral půl hodiny.
- Během výpočtu si hlídejte přehlednost zápisu. Jedna špatně odškrábnutá odmocnina, druhá mocnina zmutovaná v součinitel, nebo třeba g-čko tvářící se jako číslo 9 dokáží napáchat nepředstavitelnou paseku.
Na tohle pozor zejména v matematice u posloupností: a, g, q a 9 neskutečně rády mutují jedna v druhou.
- Máte-li pochyby, ověřujte jednotkami. Ty by měly být na obou stranách rovnice a v jednotlivých členech součtu/rozdílu stejné. Také by se u žádné jednotky neměla vyskytnout mocnina ve formě zlomku nebo něčeho horšího (takže kg2 je ok, kg-2 taky, ale kg1/2 ne).
Ověření jednotkami je jedna z věcí, na které se ve fyzice můžete spolehnout vždycky s výjimkou optiky, která je doménou spíš matematiky a tím pádem hýří bezrozměrnými veličinami. Další guláš umí napáchat konstanty. Kdo si pamatuje, že jednotkou gravitační konstanty je m3kg-1s-2? Já ne, zrovna jsem si to odvodil. Je velmi výhodné mít přehled o jednotlivých veličinách natolik, abyste je dokázali vystopovat až k těm daným SI: s jejich pomocí dokážete ověřit (nikoli však dokázat) platnost mnoha vzorců. Ale pozor! Pokud jsou ve vzorci ještě nějaká čísla, typu 1/2mv2, nesrovnalosti odhalí tak maximálně zdravý rozum.
- Goniometrické funkce zpracovávají úhly (ať už ve stupních či radiánech - hlavně si nezapomeňte správně přepnout kalkulačku) a nic jiného. Síla či rychlost uvedená v argumentu sinu spolehlivě vede k velmi špatným známkám.
Úhlová rychlost je samozřejmě něco úplně jiného.
A co to! Hle, rovnice postupné vlny: y = ym sin2π(t/T - x/λ)! Je tam vzdálenost! Je tam čas! Je tam dělení! ... Jenže časy se dělí navzájem, a stejně tak vzdálenosti. Ve výsledku sinujeme bezrozměrné číslo a dostáváme současnou výchylku vlny v čase t a místě x. Sponzorem rozměru této výchylky je laskavá ym.
- Je-li číslo v argumentu funkce, pozor na manipulaci s ním. Ze sin2a rozhodně nejde vytknout číslo 2, a pro pořádek ani ta a. Krácení sinx/n = six = 6 je oblíbený matfyzácký vtip. Neberte ho vážně.
Manipulace s funkcemi ale není hlavní náplní fyziky. Tato zvrácená zábava je doménou především matematikářů.
Toliko ode mne, budu rád za každý zajímavý nápad či připomínku. Fyzice zdar!
Přihlásit se k odběru:
Příspěvky (Atom)